本质上，贝叶斯公式描述了在给定新信息的情况下如何更新我们的模型。

为了理解原因，我们将看一个简单的例子：用不公平的硬币抛硬币。假设我们有一个神奇的硬币！抛掷时可能出现正面或反面，但概率不一定相等。问题是，我们不知道确切的概率。因此，我们必须进行一些实验和统计估计才能找到答案。为了数学地表述这个问题，我们用 x 表示正面朝上的概率。

我们对 x 了解多少？

此时，什么都没有。它可以是 0 到 1 之间的任何数字。

贝叶斯先验

与其将 x 视为一个固定数字，不如将其视为对实验 X 的观察。为了模拟我们对 X 的（缺乏）知识，我们选择 [0, 1] 上的均匀分布。这被称为先验，因为它表达了我们在实验之前的知识。

先验分布的密度，以概率形式表达我们对 X 的了解。

所以，假设我们已经扔了我们的魔法硬币，这次得到的结果是反面。它如何影响我们的硬币模型？

我们可以说，如果正面的概率是某个 x，那么我们的实验导致反面的可能性是 1-x。

注意，我们想知道条件和事件的概率分布:我们对参数的概率模型很感兴趣，因为这是我们之前的实验的结果。这被称为后验分布。

现在让我们把所有东西放在一起！

贝叶斯公式：先验后验

贝叶斯公式正是我们所需要的，因为它用先验和似然来表达后验。

这可能令人惊讶，但实验产生反面的真实概率是无关紧要的。

为什么？因为它与 X 无关。另外，因为我们谈论的是概率分布，后验积分的计算结果为 1：

这里，反面的概率为 0.5，正如总概率定律所暗示的那样：

（在一般情况下，像这样的积分很难进行分析评估。）

所以，我们有我们的后验分布！请注意，它更集中在 x = 0 附近。（回想一下，x 是正面朝上的概率。）

换句话说，这意味着如果我们只看到一次抛硬币导致反面，我们猜测硬币偏向于此。

当然，我们可以进行越来越多的抛硬币，这可以进一步完善后验。在 k 个正面和 n-k 个反面之后，后验将是所谓的 Beta 分布。

这是最简单的贝叶斯公式解释了。

后验概率正比于先验概率乘以似然函数

或者，换句话说，贝叶斯公式描述了在给定新观察结果的情况下如何更新我们的模型。

因此，它在概率、统计和机器学习中起着基础性的作用。例如，这就是著名的均方误差的来源！